ฟรีเว็บบอร์ด | สร้างเว็บบอร์ดฟรี | บันทึกหน้านี้ | 335450 เข้าชม | 1543 คะแนน | ให้คะแนน
::: ผู้สนับสนุน :::
>>> หมวดหมู่หลัก : สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ต่างๆ : : : หมวดหมู่ย่อย : เรื่องของ พหุนาม <<<
หัวข้อกระทู้ ีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ( อ่าน 50144 ครั้ง ) บันทึกหน้านี้

Post By : tanakritchoo

ระดับ : ผู้ดูแลเว็บบอร์ด
IP : 110.168.99.xxx
กระทู้ : 134 โพส
พลังน้ำใจ : 31
ออฟไลน์ ออฟไลน์
ค่าพลังชีวิต : 2.76%
HP member status
ค่าประสบการณ์ : 100%
member status

ข้อมูลสมาชิกของ
::: เมื่อ : เสาร์ 12 เดือน มีนาคม ..2554 13:18:05 ::: กระทู้ : คะแนน ::: อ่านแล้ว : 50144 ครั้ง :::
แก้ไขล่าสุดเมื่อ : เสาร์ 12 เดือน มีนาคม ..2554 13:20:06
Quote Topic Save Topic No Use Topic
กระทู้ปักหมุด
  • การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง        

     


    ทบทวนความรู้เรื่องเอกนามและพหุนาม

    ทบทวนความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม

    แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง


    1.1  การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

             ถ้า  a , b  และ  c  แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว

                   a(b + c)  =  ab + ac      หรือ        (b + c)a  =  ba + ca

             เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้

                   ab + ac  =  a(b + c)      หรือ       ba + ca  =  (b + c)a

             ถ้า  a , b  และ  c  เป็นพหุนาม  เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และเรียก  a  ว่า

    ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac  หรือตัวประกอบร่วมของ  ba และ ca

             พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ  15x2y – 18xy โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้

                   15x2y – 18xy2  =  3(5x2y – 6xy2)      [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]
     
                                            =  3x(5xy – 6y2)       [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x2y และ 6xy2]

                                            =  3xy(5x – 6y)           [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy  และ 6y2]

                   ดังนั้น   5x2y – 18xy2   =  3xy(5x – 6y)

             ตัวอย่างที่ 1    จงแยกตัวประกอบของ  5xy + 6x2

             วิธีทำ             5xy + 6x2   =   (x)(5y) + (x)(6x)  
                                         
                                                    =   x(5y + 6x)                                

                     ข้อสังเกต   x  เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy  และ  6x2   ดึง  x  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

             ตัวอย่างที่ 2    จงแยกตัวประกอบของ  12y2z + 20yz

             วิธีทำ             12y2z + 20yz   = (4yz)(3y) + (4yz)(5)

                                                         =  4yz(3y + 5)
     
                    ข้อสังเกต  4yz  เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y2z  และ 20yz  ดึง  4yz  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

             ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  16x3y3 – 24x4y

             วิธีทำ            16x3y3 – 24x4y   = (8x3y)(2y2) – (8x3y)(3x)

                                                           =  8x3y(2y2 – 3x)

                    ข้อสังเกต  8x3y  เป็นตัวประกอบร่วมของ 16x3y3 และ  24x4y ดึง  8x3y  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

                    

                    ข้อควรระวัง

                    1.  ตัวประกอบร่วมที่นำออกมานอกวงเล็บ

                    2.  ต้องเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด

                    3.  ถ้ายังมีตัวประกอบเหลืออยู่ต้องนำออกมาให้หมด

                    4.  ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่

    ประกอบด้วย   นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 

                ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  ab -2ac + bc -2c2

                วิธีทำ             ab -2ac + bc -2c2   =  (ab – 2ac) + (bc – 2c2)

                                                                  =  a(b – 2c) + c(b – 2c)

                                                                  =  (b – 2c)(a + c)

                         ดังนั้น   ab -2ac + bc -2c2   =  (b – 2c)(a + c)

                     ข้อสังเกต     1.  a , c      เป็นตัวประกอบร่วม

                                       2.  b – 2c   เป็นตัวประกอบร่วม

                 ตัวอย่างที่ 5   จงแยกตัวประกอบของ  5x2z – 3y + 5yz – 3x2

                 วิธีทำ            5x2z – 3y + 5yz – 3x2  =   5x2z – 3x2 + 5yz – 3y

                                                                        =   (5x2z – 3x2) + (5yz – 3y)

                                                                        =   x2(5z – 3) + y(5z – 3)

                                                                        =   (5z – 3)(x2 + y)

                         ดังนั้น  5x2z – 3y + 5yz – 3x2   =  (5z – 3) (x2 + y)

                      ข้อสังเกต   1.  x2 , y    เป็นตัวประกอบร่วม

                                      2.  5z – 3   เป็นตัวประกอบร่วม

                  ตัวอย่างที่ 6   จงแยกตัวประกอบของ  mr2 – 3mp + 15np – 5nr2

                  วิธีทำ            mr2 – 3mp + 15np – 5nr2   =   mr2– 3mp – 5nr2+ 15np

                                                                                =   (mr2– 3mp) – [(5n)r2– (3)(5n)p]

                                                                                =   m(r2 – 3p)5n(r2 – 3p)

                                                                                =   (r2 – 3p)(m5n)

                          ดังนั้น  mr2 – 3mp + 15np – 5nr2    =   (r2 – 3p)(m – 5n)

                         ข้อสังเกต     1.  m , 5n  เป็นตัวประกอบร่วม

                                          2.  r2 – 3p   เป็นตัวประกอบร่วม


    1.2  การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                      การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว  ที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

                ตัวอย่าง  
    ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 
                     
                              3x2+ 4x + 5 , 2x2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+ 8y

                        พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a , b , c  เป็นค่าคงตัวที่  

               a ≠ 0  และ  x  เป็นตัวแปร

               1.2.1  การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                         ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0

                         ในกรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax2+ bx  สามารถใช้สมบัติการแจกแจง

                แยกตัวประกอบได้

                ตัวอย่างที่ 1   จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 2x

                วิธีทำ            x2 + 2x       =   (x)(x) + (2)(x

                                                      =   x(x + 2) 

               ตัวอย่างที่ 2   จงแยกตัวประกอบของ  4x2 - 20x

               วิธีทำ           4x2 - 20x      =   (4x)(x) - (4x)(5)

                                                      =   4x(x - 5)

               ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  -4x2 - 6x

               วิธีทำ            -4x2 - 6x      =   -2x(2x + 3)

                        หรือ     -4x2 - 6x     =    2x(-2x - 3)

              ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  -15x2 + 12x

              วิธีทำ            -15x2 + 12x    =   (3x)(-5x) + (3x)(4)

                                                        =   3x(-5x + 4)

                        หรือ     -15x2 + 12x  =   (-3x)(-5x) - (-3x)(4)
     
                                                         =   -3x(5x - 4)


    1.2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                       ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

                       ในกรณีที่   a = 1   และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว   จะอยู่ในรูป  x2  +  bx  +  c
      
             สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้      โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม 

             ดังตัวอย่างต่อไปนี้

                      จากการหาผลคูณ   ( x +2 )( x + 3 )  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ    x2 + 5x + 6 

             โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ  ดังนี้

                     
      x2 + 5x + 6   =  x2 + (2 + 3)x + (2)(3)         [ 2 + 3 = 5  และ  (2) × (3) = 6 ]
      
                                            =  x2 + (2x + 3x) + (2)(3)

                                            =  (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)] 
     
                                           
    =  (x + 2)x + (x + 2)(3)

                                            =  (x + 2)(x + 3)

                                   นั่นคือ     x2 + 5x + 6  =  (x + 2)(x + 3)

                   
       
    พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

                       1.   (x + 2)(x + 3)  =  (x + 2)(x) + (x + 2)(3)
     
                                                    =  (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]  

                                                    =  x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)

                                                    =  x2 + (2+ 3)x + (2)(3)
     
                                                    =  x2 + 5x + 6

                             ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ  x2 + 5x + 6  ได้ดังนี้   x2 + 5x + 6   = (x + 2)(x + 3) 

                             ให้สังเกตว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x2+ 5x + 6  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวน

                  ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6  และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  5

                  (x + 4)(x – 5)   =  (x + 4)(x) + (x + 4)(-5) 
     
                                          =   (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)] 
     
                                          =   x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5) 
     
                                          =   x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5) 
     
                                          =   x2 + (-1)x + (-20)  

                                          =   x2  -  x  - 20 
     
                            
    ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ    x2 - x - 20   ได้ดังนี้  x2 - x - 20   = (x + 4)(x – 5)

                            จากการหาผลคูณ    (x + 4)(x -5)  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ   x2- x – 20  

                   โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้

                       x2- x – 20    =   x2 + (-1)x + (-20)

                                          =   x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)            [4 + (-5) = -1   และ  (4)(-5) = -20 ]
                      
                                          =   x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

                                         =   (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

                                         =   (x + 4)x + (x + 4)(-5)

                                         =   (x + 4)[x + (-5)]

                                         =   (x + 4)(x -5)

                                 นั่นคือ         x2 - x - 20   =   (x + 4)(x - 5)

                               
    ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x2- x – 20  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม
     
                สองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  -20  และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  -1

                                 จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้  ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง  เช่น  x2+ 6x + 8  
                
                เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้  8  และบวกกันได้  6  ก่อน  ดังนี้
                
                เนื่องจาก     x2 + 6x + 8  =  x2 + (2 + 4)x + (2)(4)

                                                     =  x2 + (2x + 4x) + (2)(4) 

                                                     =  (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]

                                                     =  (x + 2)x + (x + 2)(4)

                                                     =  (x + 2)(x + 4) 

                                       นั่นคือ     x2 + 6x + 8     =    (x + 2)(x + 4) 
                
                  ในกรณีทั่วไป  เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป   x2 + bx + c  เมื่อ  b , c  เป็นจำนวนเต็ม

            และ  c ≠ 0  ได้  ถ้าเราสามารถหา  จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  c  และบวกกันได้

            เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  b

                    ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน  ซึ่ง  mn  =  c  และ  m + n  =  b  

                    จะได้ว่า     x2 + bx + c    =    (x + m)(x + n)

                      

      
                  ตัวอย่างที่ 5     จงแยกตัวประกอบของ  x2 – 10x + 21

                  วิธีทำ              เนื่องจาก (-3)(-7)   =   21
                   
                            และ              (-3) + (-7)   =   -10

                            ดังนั้น     x2 – 10x + 21    =   [ x + (-3)][ x + (-7)] 

                            นั่นคือ     x2 – 10x + 21    =  ( x -3 )( x -7 )          
                  
                  ตัวอย่างที่ 6     จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 5x - 6

                  วิธีทำ              เนื่องจาก  (-1)(6)   =   - 6 
     
                               และ            (-1) + (6)   =    5

             

ฟรีเว็บบอร์ด โดย ICHAT เว็บไซต์ให้บริการสร้างเว็บบอร์ด ฟอรั่ม กระดานสนทนา กระดานถามตอบ กระดานบอร์ด เว็บไซต์รุ่น เว็บไซต์ส่วนตัว ที่เป็นมากกว่าคำว่า FREE !!
เวลาบน Server : ศุกร์ 18 เดือน เมษายน 2557 01:46:02 ; โหลดหน้านี้ : 1.0046 วินาที แต่งรูปจีนโดยโปรแกรมจีน